По ту сторону структурной облигации

Текст: Игорь Дуэль

История

Первое упоминание контрактов, напоминающих опционы, относится к Средним векам, когда торговцы заключали договоры, предоставляющие право осуществлять замену одного груза на другой в морских перевозках. Со временем появилось условие, по которому одна из сторон договора могла отказаться от его исполнения после уплаты установленной премии. В XVII веке в Голландии похожие контракты стали использовать в период тюльпанной лихорадки для снижения риска сильного изменения цены. Механизм защиты прав держателей опционов отсутствовал, и сделки с производными мало отличались от азартных игр. История развития опционов, близких к современным контрактам, насчитывает почти две сотни лет, но наиболее значительный сдвиг произошел в XX веке. Вначале объемы сделок с такими инструментами оставались невысокими и происходили на внебиржевом рынке. В сферу ответственности Комиссии по ценным бумагам и биржам США опционы попали только после Великой депрессии 1929 г. Полноценная торговая площадка появилась в 1973 г. после основания Чикагской биржи и запуска торгов стандартными контрактами колл (call option) на 16 акций. Торги опционами пут (put option) начались в 1977 г.

• Опцион колл дает покупателю право, но не обязанность приобрести актив в будущем на дату экспирации опциона по заранее установленной цене (страйк). Опцион пут дает покупателю право продать актив по заранее установленной цене. У продавца опциона, наоборот, возникает обязательство продать или купить актив (в зависимости от типа опциона).

Подходы к оценке

Формирование и функционирование полноценного рынка опционов было бы невозможно в отсутствие универсальной модели оценки, включающей объективное предположение о шансах на рост или снижение актива в будущем. Путь к созданию фундаментального метода лежал через развитие ряда математических концепций. Первым шагом в этом направлении считается работа французского математика Луи Башелье «Теория спекуляции». В 1900 г. он впервые попытался применить концепцию броуновского движения к моделированию изменения цен на акции.

Концепция броуновского движения описывает случайное и последовательное движение частицы, находящейся под влиянием хаотично двигающихся молекул вещества. Каждое смещение частицы во времени является результатом независимых воздействий, вся потенциальная выборка которых нормально распределена.

К числу главных свойств сформулированного процесса броуновского движения, применимого к моделированию движения финансовых активов, были отнесены:
• случайность — значение для каждого временного интервала (например, торгового дня) является непредсказуемым, известно лишь распределение вероятностей возможных значений;
• процесс представляет собой фиксированные и последовательные шаги;
• вероятность роста равна вероятности снижения (вектор случайной величины нормально распределен);
• значение в следующем временном интервале зависит только от текущего значения, прошлые значения нерелевантны.

Применительно к цене акции без учета дивидендов данный процесс в упрощенной форме предполагает, что цена акции завтра соответствует цене акции сегодня, скорректированной на произведение случайно заданного вектора изменения (в диапазоне от –1 до 1) и дневной волатильности. Сам вектор выбирается случайно из множества значений, частота которых сформирована в соответствии с нормальным распределением. Постоянное смещение базируется на безрисковой ставке с поправкой на волатильность и обеспечивает активу постоянное смещение в целях риск-нейтральной оценки, направленное на исключение возможности для арбитража.

Сегодня нормальное распределение играет важную роль в оценке стоимости опционов и других деривативов. Использование стандартного нормального распределения, которое обладает математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением (волатильностью), равным единице, дает возможность определить вероятность заданного отклонения акции от своего текущего значения. Распределение вероятностей в рамках стандартного нормального распределения содержит несколько отличимых признаков. Например, для любого множества, сформированного в соответствии с указанными выше параметрами, 34% наблюдений будет находиться не более чем на одно стандартное отклонение выше от среднего. Это означает, что почти 68% всех наблюдений будет лежать в области от –1 до 1 стандартного отклонения.

Пример: если принять за 0 среднее ожидаемое изменение индекса S&P 500 через 12 месяцев, то при волатильности 15% значение индекса с вероятностью 68% может оказаться в пределах от 85% до 115% от первоначального уровня. Вероятность превысить 115% будет составлять 16%.

Модель и реальность

В период развития глобального финансового кризиса разницу между ценой и стоимостью хорошо выразил Уоррен Баффет, известный американский предприниматель и инвестор. «Цена — это то, что вы платите. Ценность — это то, что вы получаете», — писал он в ежегодном письме инвесторам Berkshire Hathaway в 2008 г. Математическая модель обеспечивает системный подход к задаче расчета стоимости опционов и дает оценку инструмента, которую можно назвать справедливой. Однако ее слабой стороной остается не столько проблема актуальности входящих параметров, сколько возможное несовершенство основополагающих теорий, а точнее — их имплементации в контексте финансового моделирования.

И хотя существующие сегодня модели только усилили позиции с ростом вычислительных мощностей и одновременным их удешевлением, они остаются лишь попыткой как можно точнее описать процессы, происходящие в реальности. В связи с этим всегда остается место для расхождений, возможны периоды времени, когда поведение финансовых активов отклоняется от своей расчетной траектории. Такие изменения диктуются рыночными условиями (смещение спроса на опционы пут для страховки от коррекции в периоды кризисов) или особенностями базового актива (фондовый индекс часто имеет положительное ожидаемое значение). В этом отношении анализ исторической динамики заданного актива и ее сопоставление с математическими концепциями позволяют выявить определенные закономерности, способные представлять практический интерес для инвестора.

В целях иллюстрации был проведен анализ исторической динамики индекса S&P 500 для нескольких временных интервалов, а также группы акций американских компаний высокой капитализации. Временной интервал данных по индексу S&P 500 составил 67 лет. Результаты показали, что для более длительных промежутков времени характерно смещение среднего значения в положительную сторону (в среднем на 8,9%). Такая закономерность объясняется устойчивым экономическим ростом на рассмотренном периоде времени и отчасти фактором survivorship bias, связанным с тем, что в расчет индекса включаются акции, отвечающие определенным критериям (в выборку не попадают устойчиво теряющие стоимость бумаги). В случае снижения котировок акции и падения капитализации ниже установленного минимума, а также продолжительных убытков акции такой компании исключаются из расчета индекса.

Сопоставление нормального и исторического распределений

Результаты анализа исторической динамики акций крупных компаний, входящих в расчет индекса S&P 500, указывают на заметное увеличение максимальной просадки (почти в три раза по сравнению с индексом), при этом амплитуда снижения слабо меняется по мере роста временного интервала. Заслуживает внимания тот факт, что в рассмотренной выборке данных были редкие примеры, когда стоимость акции падала более чем на 60% по итогам недели. С позиций математической модели возможность падения цены акции на указанную величину за одну неделю имеет почти нулевую вероятность. Например, вероятность падения более чем на три стандартных отклонения (6,15% для рассматриваемой выборки) для одного дня составляет около 0,1%, в то время как фактическая вероятность составила 0,6%, а среднее снижение для таких случаев находилось на уровне 8,9% (максимальное — 51,9%). Иными словами, модель несколько недооценивает как вероятность, так и потенциальный размер убытков. По этой причине инвестору обычно сложно рассчитывать на статистическое преимущество при работе с опционами на корзину акций, где наблюдение осуществляется за «отстающим» активом.

• По оценкам компании Innosight, продолжительность пребывания компании в индексе S&P 500 снизилась с 33 лет в 1964 г. до 24 лет к 2016 г. Существует предположение, что это значение опустится до 12 лет к 2027 г. Таким образом, задача обогнать индекс путем выбора отдельных акций будет становиться все более сложной.

Исторические данные наряду с заметным отклонением от нулевого ожидаемого среднего значения позволяют выявить и другую особенность — существует положительная корреляция между средним значением и сроком инвестиций. Такая динамика одинаково прослеживается для индекса и для группы рассмотренных акций.

Сопоставление исторической динамики активов с основными концепциями математических моделей говорит о важной роли времени: расхождение между моделью и фактическим поведением активов увеличивалось по мере увеличения временного интервала. Индекс S&P 500 демонстрировал положительную динамику (смещение) на горизонте в один год, которое косвенно может говорить о недооценке опционов колл и переоценке опционов пут на выбранном историческом отрезке. Гибкость данной категории продуктов влечет большое многообразие возможных комбинаций, среди которых непросто найти оптимальный вариант с правильным соотношением доходности и риска. Как видно на представленном примере, увеличение срока действия структурной облигации на индекс S&P 500 математически ведет к повышению рисков для инвестора, которые не всегда реализуются. И наоборот, использование корзины из 4–5 акций с одновременным увеличением срока может стать источником неприятных сюрпризов, которые не были учтены в начальной цене продукта. Риски корреляции и больших негативных отклонений активов остаются наиболее недооцененными и наименее заметными в большинстве современных структурных продуктов. По этой причине выбор подходящей структурной облигации, не предполагающей полную защиту капитала, может опираться не только на инвестиционный взгляд инвестора на активы, но и на математические особенности используемой для оценки облигации модели.

• Феномен броуновского движения был описан шотландским ботаником Робертом Броуном еще в
  1827 г. во время изучения спонтанного движения частиц вещества в жидкости. Работа Луи Башелье не привлекла особенного внимания, пока пять лет спустя, в 1905 г., Альберт Эйнштейн не предпринял попытку сформулировать модель, описывающую броуновское движение частиц. Работа Эйнштейна не затрагивала аспекты применения броуновского движения для моделирования цен финансовых активов, а была нацелена на изучение природы взаимодействия между частицами и поиск доказательств атомной теории строения вещества. Ему удалось показать, что движение частиц не является чем-то живым само по себе, а обусловлено исключительно взаимодействием вещества с молекулами воды, которые хаотично бомбардируют молекулы вещества, придавая им случайный вектор. В скором времени достижения в области теории вероятностей позволили привнести новое измерение в процесс анализа броуновского движения. В 1923 г. американский математик Норберт Винер сформулировал математическую теорию броуновского движения, которое с тех пор нередко стали называть процессом Винера. Фундаментом для теории стал нормальный закон распределения, детально изученный немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Процесс Винера был призван математически описать наблюдаемое в природе броуновское движение, в связи с чем сегодня эти термины нередко используются в качестве взаимозаменяемых.